發布時間：2020-04-13所屬分類：教育職稱論文瀏覽：1次
摘 要： 摘要：結合理工科碩士生數值分析課程的內容、特點和教學實踐中的一些問題，較詳細地介紹了根據課程教學目標進行教學設計的基本思想，給出了改進教學方法的手段，提高教學效果的途徑和方法。實踐表明，教學方法的改革能夠有效地激發學生學習興趣，幫助學生理
摘要：結合理工科碩士生數值分析課程的內容、特點和教學實踐中的一些問題，較詳細地介紹了根據課程教學目標進行教學設計的基本思想，給出了改進教學方法的手段，提高教學效果的途徑和方法。實踐表明，教學方法的改革能夠有效地激發學生學習興趣，幫助學生理解算法構建思想，提升學生算法應用能力。
關鍵詞：數值分析;教學模式;教學改革;MATLAB軟件
工學專業的數值分析課程教學內容主要是高等數學和線性代數中有關知識或模型在實際問題研究中的引伸和發展。它包括數值代數、數值微積分、數值逼近和微分方程數值解等基本內容。它是將所欲求解的數學模型(數學問題)簡化成一系列算術運算和邏輯運算，以便在計算機上求出問題的數值解，并對算法的收斂性、穩定性等進行分析的全過程，與高等數學和線性代數課程的教學要求有較大的差異。
在數值分析課程教學中開展實踐性教學已成為共識。作為一門研究生公共基礎課程或專業核心課程，教師應注意它獨特的應用性。盡管不少案例已經出現于課堂教學中，但這些案例源自多個學科、相對零散、系統性與專業性不強，學生往往需要首先消化案例自身的原理，導致教學效果不佳。雖然目前有許多高校在數值分析或數值計算方法教學中引入了MATLAB軟件，利用MATLAB編寫數值算法程序，但主要還是以講授為主，由教師闡述基本理論和基本方法，通過軟件進行基本方法的驗證，缺少對綜合性問題的解決思路，對學生能力的提升并沒有起到預期的效果[1]。
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對研究生數值分析課程進行教學改革，推進研究生優質課程建設，需要教師在教學內容、教學模式和實踐環節等方面不斷地探索與實踐，才能更好地實現數值分析課程的教學目標，培養研究生的創新能力。本文結合數值分析課程教學的內容及特點進行了一些探索與實踐。
一、課程教學方式與存在的主要問題
(一)課程教學內容與特點
數值分析課程的教學內容主要是介紹如何利用計算機來求解工程問題的數值理論和方法，兼有理論課和實踐課的要求，主要有以下三個特點。
1.課程教學內容比較豐富，以實際工程問題中所建立數學模型的數值求解為出發點，主要包括誤差的基礎知識、插值法、數值逼近、線性方程組的直接解法和迭代解法、非線性方程求根、數值微積分、微分方程數值解等內容。
2.課程中介紹的常用數值算法邏輯性強、理論推導嚴密，有的方法構造技巧性較高，學生理解和掌握不太容易，需要有較好的大學數學基礎。
3.課程中介紹的數值算法需要能借助計算機編程實現，上機實習是必不可少的一個環節[2]。這既要求學生通過學習理解算法的思想，又要求學生能應用計算機軟件來解決實際問題
總之，數值分析是一門理論比較抽象、計算公式比較煩瑣、實踐性強的課程。
(二)課程教學中存在的問題
數值分析課程作為工學專業研究生的公共基礎課，一般是多專業學生選課，課程大都采用大班的上課方式。課程教學以理論講授為主，沒有專門的上機學時。目前，課程教學中還存在以下問題。
1.在教學方法上，傳統的教學方法只注重算法的數學原理的推導，缺乏實踐環節的教學。在學時偏緊的課堂上，教師以理論知識為主講授的形式，把一些基本的算法理論傳授給學生。學生只是簡單地了解有些什么算法和一些驗證性實驗，并沒有很好地與實際問題相結合。大部分學生對這樣的方式不能很好地接受，學習效果并不理想。
2.學生對常用數值計算軟件(如MATLAB)的使用學習不足，動手能力普遍沒有得到提高。由于教學時數的制約，算法編程本身不是本課程教學的主要內容。教師一般在課堂上不介紹算法的計算機實現問題。
3.在教學手段上，運用多媒體教學，雖然可擴展知識面和信息量，節約不少學時，但算法演示較少，對算法的收斂性、穩定性等分析討論不夠。
4.在教材建設上，多數數值分析教材的內容安排是先給出理論上的結論，進而用理論上的公式、定理等去解決實際問題，對各種問題常用計算方法的介紹相對獨立。
二、課程教學改革設想與實踐
(一)優化教學內容
為提高大學生的學習積極性，教師可以適當聯系一些實際問題，用心收集和編制教學案例，進行有效的案例式教學。例如，教師可結合當前大數據時代的特征與要求，利用數值分析中的插值與擬合逼近方法、數值微積分方法等處理天氣預報、圖像處理、股票價格演變等問題。教學內容應該集中于算法的實現過程和實現方法方面，在課堂教學內容、實踐教學內容和教學方法上做好優化設計[3]。
另外，加入具有代表性的工程背景知識及MATLAB程序案例和代碼，能使學生更好地掌握工程背景、求解思想、數值算法和MATLAB程序實現等解決實際工程問題的全過程[4]。
(二)推進教學方法與教學手段改革
數值分析課程的教學內容從表面上看既有高等數學的內容，又有線性代數的知識，顯得比較松散，教師組織教學和學生學習時就常常會感到難以掌握。但數值代數、數值微積分、數值逼近等相對獨立的專題也給模塊化的教學設計帶來了便利。在教學方法和手段上，教師可根據不同的專題特點和要求，設計好教學內容、編制好教案，從而組織好教學。課堂上不同算法的講授要區分重點和難點，主要分析常見算法的基本思想，比較算法的優劣。
1.對自然現象規律的描述與探究幾乎都可以歸結為逼近問題，應該說逼近的樸素思想與方法滲透于幾乎所有的學科。函數逼近是科學計算的基本問題，也是數值微積分的基礎。對插值、擬合等逼近方法，課堂教學應主要討論如何用實驗測得的數據來找出對函數f在一定意義下的近似表示，并分析這種近似表示的誤差。因此，在教學方法上，教師可采用“講授式+討論式”的模式，從圖像處理(灰度或彩色數字圖像的放大/縮小)、股票交易日收盤價、天氣預報等大數據熱點的實際問題引入逼近問題的提法，圍繞數據處理過程，運用微積分工具(泰勒公式、泰勒級數、多元函數的極值問題等)進行誤差估計的方法，引導學生復現如何提供一個穩定的(或收斂的)、有效的逼近算法。這樣既可以激發學生的學習興趣，又可以使學生在數據處理的過程中體會到算法設計的思想，還讓學生看到了高等數學思想在工程實踐中的具體應用。
2.在數值代數方面，由于一些科技和工程問題常常歸結為線性代數中的線性方程組Ax=b的求解，本課程主要介紹低階稠密線性方程組的直接解法和大型稀疏線性方程組的迭代解法。這類解法的基本思想都可看成是對系數矩陣A的變換方法。對于工學研究生來說，在工程實際問題的處理中，矩陣是通用工具，而數學軟件MATLAB是常用軟件之一。由于線性代數內容本身的抽象性，對于數值代數部分的教學，教師結合軟件的教學，可以幫助學生更好地理解各種矩陣變換之間的聯系與區別，以及諸如基于矩陣的直接三角分解法、對稱正定矩陣楚列斯基分解的平方根法、不同分裂矩陣的迭代法等數值算法的實用范圍。
不論是經典的高斯消元法，還是逐次超松弛迭代法，雖然算法的向量(矩陣)形式簡潔，但教師在課堂講授時即使常使用三元低階線性方程組，寫出的分量格式在形式上也是較大的一塊。在這種情況下，結合多媒體課件的教學往往會起到事半功倍的效果。筆者在教學中結合編寫的教材[5]，選擇了一些實際問題案例，制作了電子課件，通過使用課件介紹算法的構造過程及原理，用實際例子演示計算機求解過程，可以更好地幫助學生領會數值算法的核心思想，消除數學公式推導的乏味。改變以往以課堂講授為主的教學模式，在課外增加利用MATLAB軟件解決實際問題的實踐環節，實現和檢驗算法的有效性，真正做到學以致用，增強學生學習的信心。
3.在計算微積分時，不易求得精確解的非線性方程求根問題、難于求出微分方程初值問題解析解等問題，都可以基于函數逼近/近似的方法設計相應的數值方法求解。例如，數值積分的基本思想是把積分計算近似地表示為一些通過實驗或其他途徑得到的部分函數值的線性組合，就不必或不需要求出被積函數的原函數，而可以較直接地計算出積分的近似值;牛頓-科特斯求積公式就是在等距節點的情形下，利用插值多項式來近似地代替被積函數，便于定積分的計算和進行誤差估計。微分方程初值問題解析解多數情況下不能求得。最簡單、最古老的歐拉方法就是用未知可微函數的差商近似導數，用折線代替初值問題的積分曲線的逼近方法。這也是微積分學中“以直代曲”基本思想的體現。
教師在教學中要抓住函數逼近的思想和方法，根據不同的問題講授相應的算法設計。這樣就可以引導學生不斷通過對問題解決方案的深入探求，增強求知欲。
不論是數值積分，還是非線性方程求根，都涉及到計算的效率問題。復化求積公式、龍貝格算法、牛頓迭代法求方程的根、龍格-庫塔方法等，都是加速求得實際問題較精確的數值解的逼近方法。因此，教師在教學中還要注意對算法的數值穩定性、收斂階、代數精度、絕對穩定性等的理論證明或推導。這些內容的基礎就是做好對算法的誤差分析與估計。
(三)增設實驗教學環節
上文已提到增設實驗教學環節的重要性，這里要強調兩個方面。一方面，通過實踐訓練，要求學生在學習數值分析課程理論的同時，學會MATLAB軟件。雖然隨著時代的發展，各種各樣的編程工具不斷涌現，但對于科學計算來說，該軟件還是具有較強的生命力，對工學研究生來說，也是一個常用的軟件工具。另一方面，通過這樣一個環節，使學生在算法的計算機實現中更好地理解和應用算法，能為算法的分析與設計打下較扎實的基礎。如今，多數教材以不同的形式將MATLAB或其他數學軟件編入教材中[6-7]。有的將軟件和其他計算機基礎知識作為一章或作為附錄;有的在介紹每個算法時，給出了例題的MATLAB源代碼;有的將源代碼作為附錄統一給出。不論哪種形式，都注意了算法的實現問題，為實踐教學提供了較好的指導藍本。
實踐教學環節的增設也能更好地檢驗學生的學習效果。實際上，學生的上機實驗往往會出現一些問題。例如，多數學生只滿足于能運用機器得到一個運算的結果，而對如何使計算的結果以比較美觀的形式輸出，如何滿足題目的精度要求等問題常常不會仔細考慮。學生是否較好地掌握了算法，是否得到了正確的結果，他們自己實際上并不完全清楚�？傮w而言，針對數值分析課程各部分的教學內容，分組或獨立完成相應問題的求解，并在對算法總結時進行討論，是一種較好的教學模式。
三、結束語
數值分析課程由于涉及內容較寬泛，可根據數值逼近、數值代數、數值微積分等模塊內容，結合問題的工程背景，設計好相應的算法教學案例，采取模塊式教學。對數值分析的基本理論和基本方法的介紹，教師應考慮到學時和課程內容本身，在教學手段上，可使用電子課件講授。在通過軟件演示算法的收斂性和穩定性的同時，教師還要設計一些綜合性的問題，指導學生進行算法設計，并利用MATLAB軟件實現，培養學生解決實際問題的能力。
SCISSCIAHCI
