發布時間：2022-04-11所屬分類：工程師職稱論文瀏覽：1次
摘 要： 摘要：齒輪系統應用廣泛，并在風力發電、航空航天、汽車和盾構機等機械設備中發揮關鍵作用。其動力學特性的優劣將直接影響設備整機的工作性能。然而齒輪傳動的結構形式多樣、內外部激勵和非線性因素豐富，同時工作環境復雜多變，這使其動力學分析相比較于其他機械系統
摘要：齒輪系統應用廣泛，并在風力發電、航空航天、汽車和盾構機等機械設備中發揮關鍵作用。其動力學特性的優劣將直接影響設備整機的工作性能。然而齒輪傳動的結構形式多樣、內外部激勵和非線性因素豐富，同時工作環境復雜多變，這使其動力學分析相比較于其他機械系統更加復雜。另外，制造、加工、裝配等的誤差、磨損、潤滑和運行環境等因素將導致齒輪系統的內外部激勵和系統參數具有不確定性。齒輪系統動力學分析需要考慮這些不確定性因素。目前，針對齒輪系統動力學特性的不確定性分析，國內外學者已開展了廣泛的研究工作。從不確定性因素的描述方式、動力學方程的求解方法、動力學特性分析、可靠性與優化設計、以及不確定性分析的試驗研究等方面系統地評述國內外學者對齒輪傳動系統不確定性動力學特性的研究現狀，并給出需要進一步研究的問題。
關鍵詞：齒輪傳動;動力學;統計分析;隨機誤差;不確定性
0 前言
齒輪傳動系統具有結構緊湊、功率范圍廣和傳動速比寬等優點，已被廣泛應用于多種機械裝備中。隨著機械裝備向大型化、高可靠、高精度和長壽命等方面的發展，人們對齒輪傳動系統動力學性能的要求也在不斷提高，更準確地預測系統動態性能變得越來越重要。然而，周期時變嚙合剛度、齒側間 隙、傳遞誤差和復雜的外部激勵增加了齒輪系統動力學問題的研究難度。目前，已有不少針對齒輪系統動力學建模[1-4]與求解[5-8]、固有特性[9-10]、動態響應[11-14]、穩定性[15-18]、可靠性分析和優化設計[19-22] 等方面的研究工作。李潤方等[23]系統地闡述了齒輪傳動系統的振動、沖擊和噪聲分析中的關鍵理論及方法。
上述研究大多將齒輪系統動力學問題處理為確定性參數或激勵下的問題。實際工程中，由于制造、加工、裝配等的誤差、磨損、潤滑和運行環境變化等原因，不確定性因素廣泛存在于齒輪傳動系統中。然而，在以往的設備研發設計過程中，由于設計過程的簡化或技術條件限制，往往對這些不確定因素加以忽略，或通過安全系數法簡單估計不確定性因素。但這常常會引起設備的可靠性問題。例如，根據華能、大唐和華電等 12 家風電企業的風電機組故障統計分析，2011 年 1 月至 8 月，服役的 23 600 臺風電機組發生故障的次數超過 40 000 次[24]。 Vestas和GE公司所產的1.5 MW雙饋式風電機組也曾因齒輪箱質量問題而被大規模召回。為滿足現代機械設備日益提高的性能和可靠性要求，必須在系統建模和分析中考慮不確定性因素。齒輪系統動態特性不確定性分析的早期工作，可追溯到 1977 年 TOBE 等[25-26]的研究。他們通過試驗證明了齒輪系統傳遞誤差中隨機成分的存在，并建立了系統的統計動力學方程，運用統計線性化方法和矩方程求解得到響應的前兩階矩。隨后，KUMAR 等[27]給出了直齒輪傳動系統的等效離散時間狀態方程，并分析了隨機誤差幅值和轉速對動載系數的影響情況。 NERIYA 等[28]分析了單級斜齒輪傳動系統在隨機誤差激勵下的動態響應。
不確定性方法處理齒輪傳動系統的動力學問題一般包括兩個方面：其一，不確定性因素的描述方式;其二，分析模型對不確定性的傳播。統計模型、區間模型和模糊模型是不確定因素描述的三種主要方式。若不確定性因素具有隨機性，則可以通過統計模型進行描述，其概率分布一般通過大量樣本或具有代表性的樣本進行估計[29]。另外，不確定性輸入參數的變化范圍往往容易獲得，因此可以采用區間模型[30]處理這一類問題。模糊模型則是基于模糊集合理論和模糊邏輯學的數學模型，用以描述由“含糊不清”引起的不確定性因素。分析模型對不確定性的傳播則主要研究如何通過輸入參數的不確定性特征獲得系統輸出的不確定性特征。1995 年，李潤方等[31]對六七十年代國外齒輪系統的動態特性統計分析進行了闡述，其主要內容是有關隨機傳遞誤差下的系統動載荷和動態響應分析。近些年，國內外研究人員在這兩方面又開展了一些卓有成效的研究工作。本文將從不確定因素的描述方式、動力學方程的求解方法、動力學特性不確定性分析、可靠性分析與優化設計、以及不確定性分析的試驗研究等方面對國內外研究進展進行評述，并給出需要進一步研究的方向。
1 不確定性因素的描述方式
不確定性因素的描述方式是不確定性問題研究的首要問題。只有根據已知信息的數量和類型選擇恰當的描述方式，才能選擇對應的不確定性分析方法進行相關的動力學分析。根據研究現狀，齒輪系統的不確定性因素主要包括內部激勵、外部激勵和系統參數的不確定性。內部激勵是齒輪系統與其他機械系統的主要不同之處，外部激勵則根據不同的應用對象會有不同的特點。本節主要闡述了內部激勵、外部激勵和系統參數等不確定性因素的描述方式。
1.1 內部激勵不確定性的描述
齒輪系統的內部激勵主要包括誤差激勵、剛度激勵和嚙合沖擊激勵。目前，不確定性分析中主要討論了誤差激勵和剛度激勵的不確定性。誤差激勵的不確定性主要通過統計模型和模糊模型描述，剛度激勵的不確定性主要通過統計模型描述。
1.1.1 誤差激勵不確定性的描述
在統計模型中，誤差激勵一般被表示為確定性分量與隨機性分量之和的形式。其中隨機部分有多種描述方式，如 Gaussian 白噪聲、Gaussian 有色噪聲和服從某種分布規律的隨機變量。 Gaussian 白噪聲形式的隨機誤差激勵可以通過整形濾波器得到，也可直接通過 MATLAB 軟件提供的內部函數直接產生。白噪聲是指其功率譜密度函數在整個頻域內均勻分布的隨機信號。Gaussian 白噪聲則還需要滿足其幅度統計規律服從 Gaussian 分布[32]。由于二階 Markov 過程可以提供很好的隨機振蕩現象，常被用做整形濾波器，以產生 Gaussian 白噪聲[27]。
早在 1977 年，TOBE 等[25]便利用該模型分析了齒輪副中誤差激勵的隨機成分對動載荷的影響。SATO 等[33]研究了隨機誤差激勵下齒輪系統的間隙非線性特征。KUMAR 等[27]分析了隨機誤差激勵下單級齒輪副系統的動態響應統計特征。 NERIYA 等[28]建立了斜齒輪系統的扭轉、彎曲、回轉和軸向運動的耦合型分析模型，并分析了系統動態響應的統計特征。GELMAN 等[34]則同時考慮隨機傳遞誤差、隨機嚙合剛度和隨機初始條件，研究了齒輪系統動態平均激勵和傳遞平均載荷的關系。另外，Gaussian 白噪聲還可通過 Matlab 軟件提供的內部函數 WGN、AWGN 或者 RANDN 的直接產生。運用這種方式，FENG 等[35]分析了含隨機誤差和隨機間隙的單級齒輪系統穩定性。陳會濤等[36]分析了隨機誤差激勵對含時變嚙合剛度和齒側間隙的單級齒輪系統非線性動態響應的影響。 Gaussian 有色噪聲主要是指幅度分布服從 Gaussian 分布，其功率譜密度函數在整個頻域內不是均勻分布的隨機信號。
除了Gaussian白噪聲和 Gaussian有色噪聲兩種隨機過程的方式外，隨機誤差激勵還可以通過服從某種分布規律的隨機變量描述，例如，正態分布，瑞利分布等。正態分布是一個在數學、物理和工程等領域都非常重要的分布函數。在實踐中，如果影響隨機變量的因素很多，而每一種因素的影響都很小，則可以近似認為該隨機變量服從正態分布規律[32]。DRIOT 等[41]將與軸不對中誤差、齒輪輪齒齒廓誤差和導程誤差有關的不確定性處理為服從正態分布規律的隨機變量，并運用改進的 Taguchi’s 方法分析了誤差隨機性對齒輪副系統動力學行為的影響。隨機部分的均值為制造誤差的標稱值，標準偏差由公差范圍和質量等級確定。BONORI 等[42] 通過 K 齒廓圖(K-chart)得到了服從正態分布規律的隨機制造誤差，并對比分析了有無制造誤差時單自由度齒輪副系統的幅頻特性，其中 K 齒廓圖提供了單個齒廓相對于沿輪齒齒廓坐標的公差信息。鄧緒山等[43]將影響齒輪系統的基節誤差和齒形誤差考慮為隨機變量，并分析了基于隨機誤差的系統幅頻響應。其中，基節誤差和齒形誤差的均值通過齒輪精度等級確定;基節誤差服從正態分布，方差通過 3σ 準則確定;齒形誤差服從瑞利分布，方差通過考慮重合度后的等效計算公式得到。
若認為誤差激勵的不確定性是一種模糊性，則可以通過模糊模型描述。模糊模型主要處理由“含糊不清”引起的不確定性因素，這里的“含糊不清” 主要是指存在于現實中的不分明現象。模糊不確定性因素一般表示為模糊數[44]，主要通過隸屬度函數描述。傳統集合論中某個參數是否屬于該集合是有明確定義的，隸屬度取為 0 和 1，對應“假”和“真”。而在模糊理論中，隸屬度是一個在 0 和 1 之間變化的連續量�？紤]對誤差大小和取值范圍認識的模糊性，李瑰賢等[45]將誤差激勵假設為服從模糊正態分布規律的模糊變量，其隸屬函數可表示為 ( ) ( ) ( ( ) ) 2 exp Ae t ne e r rj = −− (3) 式中，ej 是模糊集合 er(t)的界定標準;常數 n 和 ej 根據實際齒輪傳動系統的工作環境和精度選取。建立了單級斜齒輪系統的扭轉振動模糊微分方程，并給出了相應隸屬度下模糊動態響應的求解表達式[45-46]。
1.1.2 剛度激勵不確定性的描述
相比于誤差激勵不確定性的描述研究，有關剛度激勵不確定性描述的研究工作較少。目前，剛度激勵的不確定性主要通過統計模型描述，具體為服從正態分布規律的隨機變量。王靖岳等[47]通過服從正態分布規律的隨機變量描述嚙合剛度的不確定性，運用四階 Runge-Kutta 數值積分法分析了三自由直齒輪副系統存在嚙合剛度波動項隨機擾動時的系統穩定性問題。廖映華等[48]則在嚙合剛度的確定性表達式后增加了隨機分量，通過服從截尾正態分布規律的隨機變量描述其隨機不確定性，并運用 Runge-Kutta 數值積分法分析了某特種裝備兩級人字齒輪系統的動態響應特性。
1.2 外部激勵不確定性的描述
除了齒輪輪齒嚙合產生的內部激勵外，原動機和負載等其他部件基本特性的不同也會對輪齒嚙合產生動態激勵，這些激勵統稱為齒輪系統的外部激勵[23]�？紤]皮帶摩擦、電動機轉動的不平穩性和波動性，齒輪系統的外部激勵也存在不確定性。外部激勵的不確定性一般通過統計模型描述，具體形式為 Gaussian 白噪聲。PFEIFFER 等[49]研究了隨機白噪聲激勵下的齒輪系統拍擊現象。NAESS 等[50]和 MO 等[51]分別運用路徑積分法分析了含間隙非線性和偏心誤差的單級齒輪系統強迫響應統計特征和穩定性。YANG 等運用統計 Newmark 算法分析了多級齒輪鏈[52]和行星齒輪傳動鏈[53]在確定性和隨機外載荷下的振動特性，其中，載荷的隨機分量通過白噪聲序列和白噪聲強度描述。WEN 等[54]則研究了含時變嚙合剛度和齒側間隙的單自由度齒輪副系統在諧波和白噪聲激勵下的動態響應特性。
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風電機組齒輪箱是齒輪傳動系統的重要應用之一。由于風速的易變性和不可控性，風速狀況對風機系統的運行性能有重要影響。近年來人們開始研究風機齒輪箱在隨機風載荷下的動態特性。風速模型主要通過統計模型進行描述，具體為 Weibull 分布模型、組合風速模型和基于譜估計的風速模型等三種描述形式。
組合風速模型是另一種常用的風速模型，主要由平均風速、陣風、漸變風和湍流等成分組成[59]。其中，平均風速成分一直存在，主要由風電場測風所得的 Weibull 分布參數近似確定，一般取為常數;陣風主要用來考核在較大風速變化情況下的系統波動特性，一般具有余弦特性;漸變風一般通過線性函數的形式描述;湍流主要用于描述指定相對高度上風速變化的隨機特性。王雷等[60]運用組合風速模型給出了風力機輸出特性模擬系統的設計方案。組合風速模型在低頻區的功率譜密度較高，高頻區也存在一定的功率譜密度分布。其主要優點在于物理概念清晰、應用靈活、可以根據需要對不同風速分量進行組合。
基于譜估計的風速模型是以隨機風速的譜特征為依據，應用隨機信號的譜估計或預測方法建立的風速模擬模型。常用的功率譜密度函數有 Von Karman 速度譜、Kaimal 速度譜等。楊軍等[61]利用 Kaimal 譜描述脈動風速特性，進而得到風機傳動系統的隨機風載荷，并分析了齒輪傳動系統在隨機風速下的載荷特性。通過修改 Kaimal 濾波器的參數，該風速模型可考慮不同平均風速和湍流強度。基于譜估計的風速模型可以較準確地體現自然風速的功率譜分布，用于模擬短期自然風特征非常有效。自回歸滑動平均方法 (Auto-regressive and moving-average, ARMA)屬于譜估計方法的一種。它相當于一組數字濾波器，將白噪聲變為近似具有目標功率譜密度或相關函數的離散隨機過程或隨機場。在模擬隨機風速時，它實質是用 ARMA 模型逼近 von Karman 譜密度函數。李東東等[62]利用 ARMA 方法建立了具有一定功率譜密度特征的隨機風速模型，并驗證了該模型所生成的風速序列。秦大同等[63]運用 ARMA 風速模型分析了風機行星傳動系統的純扭轉振動特性。秦大同等[64]同時考慮隨機風載荷和發電機電磁轉矩，研究了在該激勵下行星齒輪系統的自由振動特性和強迫振動特性。
汽車變速箱也是齒輪系統的應用領域之一。其主要承受的外部激勵有電動機轉矩激勵和路面譜激勵。電動機轉矩激勵是引起變速箱扭轉振動的主要激勵。然而由于驅動電動機電流換向、電樞反應和加工工藝等因素，電動機轉矩將產生隨機波動。汽車行駛在不平路面時，將承受隨機路面譜激勵。這兩種隨機激勵一般通過實際測量或軟件仿真實現。周云山等[65]通過實際測量得到隨機波動的電動機轉矩，運用 Road Builder 法創建光滑瀝青路面進而得到隨機路面譜。他們運用模態疊加法分析了這兩種隨機外激勵下的變速箱箱體動態響應特性。 OGNJANOVIC 等[66]實際測量多組隨機路面譜數據，并運用基于可靠性的方法測試了汽車齒輪箱在不同隨機路面譜激勵下的路面承載能力。李東兵等 [67]也研究了汽車齒輪系統的外部隨機激勵。
1.3 系統參數不確定性的描述
除了激勵源具有不確定性外，由于制造、加工與裝配誤差、潤滑和使用磨損等原因，齒輪系統的物理參數和幾何參數等也會表現出不確定性。在考慮含不確定性系統參數的齒輪系統動力學問題中，系統參數的不確定性一般通過統計模型和區間模型描述，其中，統計模型為主要的描述方式。
統計模型通過服從正態分布規律的隨機變量描述系統參數的不確定性。關注的不確定性參數主要有質量參數、齒側間隙和阻尼比等。假設隨機間隙為服從正態分布的隨機變量，陳思雨等[13]對比分析了含固定間隙、時變間隙和隨機間隙的齒輪副系統時域和頻域響應特性。劉夢軍等[68]分析了考慮隨機齒側間隙和時變嚙合剛度的齒輪副系統全局初值特性。LU 等[69]利用分岔圖、相平面圖和最大 Lyapunov 指數等方式對考慮隨機間隙的齒輪副系統動力學穩定性進行了分析。GUERINE 等[70]分別分析了質量、阻尼系數、彎曲剛度、扭轉剛度的隨機不確定性對單級齒輪系統動態響應的影響規律，并分析了這些隨機參數的綜合影響。GUERINE 等[71] 假設摩擦因數為服從平均分布規律的隨機變量，分析了隨機摩擦因數對單級齒輪系統動態響應的影響規律。針對系統各構件質量參數，王世宇等[72]通過假設這些參數均服從正態分布規律，分析了模態躍遷對行星齒輪傳動系統模態統計特性的影響情況。 PERRET-LIAUDET 等[73]假設黏性阻尼比、固有頻率和剛度激勵幅值均為統計獨立的 Gaussian 隨機變量，利用改進的 Taguchi 方法分析了含參數不確定性的齒輪副系統在主共振區域的幅頻特性。魏永祥等[74]在齒輪-轉子四自由度純扭轉模型的基礎上，考慮系統幾何參數、材料參數及外部載荷均具有隨機性，討論了含隨機系統參數的齒輪-轉子系統在隨機激勵下的動態響應特性。LU 等[75]分析了激勵頻率、阻尼比和間隙等系統參數具有隨機攝動時的齒輪傳動系統的非線性統計動力學特性。王靖岳等[76]分析了激勵頻率、阻尼比、齒側間隙和嚙合剛度的隨機擾動對單級三自由度齒輪系統分岔特性的影響。
雖然統計模型在理論研究與工程應用上十分普遍，但該模型是基于大量樣本信息的。在不確定性因素的統計信息很難得到或者無法獲取時，統計模型將很難被應用。相比而言，區間模型主要通過區間數描述不確定性參數，所需的不確定性信息容易獲取。區間模型最早用于處理計算機運算時由截斷和舍入誤差造成的數值計算誤差問題[77]。近些年，其在數值計算理論[78-79]和工程應用[80-81]等方面已得到廣泛應用。在齒輪系統動力學特性的不確定性分析中，區間模型屬于一種相對較新的不確定性描述方式。目前，相關的應用較少。DONG 等[82] 通過區間數描述切向力、工況系數、動載系數、沿輪齒方向的載荷分布、材料特性和輪齒形狀因子等參數的不確定性，以疲勞強度靈敏度最小化為設計目標優化風機齒輪傳動的系統參數。段文峰[83]通過區間數描述載荷、裂紋長度和斷裂韌度等影響齒輪斷裂的不確定性因素，結合響應面法和 Taylor 級數展開提出了一種齒輪斷裂可靠性分析的非概率方法。
2 動力學方程的求解方法
動力學建模是齒輪系統動力學方程求解的基礎。根據建模時考慮的因素和使用的方法，齒輪系統的動力學模型有集中質量模型、分布質量模型和剛柔耦合模型等。根據研究現狀，人們主要針對集中參數模型展開相關的不確定性分析。
由集中參數方法得到的動力學方程為二階運動微分方程組。當系統參數和激勵是確定性函數時，可通過經典的數學分析方法進行求解。例如，數值方法[23]或近似解析法[84]。然而，實際系統往往存在很多不確定性因素，例如加工、制造等的誤差、系統運行環境的不確定變化。顯然，這些問題通過經典的數學分析方法和微分方程并不能給出正確描述[85]。針對上述不確定性問題，統計模型、區間模型和模糊模型三種不確定性因素描述方式對應統計方法、區間方法和模糊方法三類分析方法，其中，統計方法是動力學方程求解的主要方法，包括統計線性化法、隨機平均法、統計 Newmark 法、路徑積分法、Monte Carlo 仿真、隨機攝動法、改進的 Taguchi 方法和隨機因子法。
統計線性化法[86]的基本出發點是尋找一個等效的線性系統，使之與原來的非線性系統之間的均方“殘差”最小。該方法的精度主要取決于非線性系統的真解偏離 Gaussian 分布的程度。TOBE 等[25] 針對一對齒輪副模型，建立了考慮隨機傳遞誤差，梯形變剛度和齒輪間隙的非線性隨機動力學方程，在已知初始分布和轉移概率密度的情況下，運用統計線性化方法求解了系統的統計微分方程。YANG 等[52]運用統計線性化技術和統計 Newmark 算法求解了確定性和隨機載荷下含時變嚙合剛度和齒側間隙的多級齒輪系統運動微分方程。
隨機平均法是將隨機平均原理和 FPK 方程法相結合的一類近似方法，主要分為標準隨機平均法、 FPK 方程系數平均法和能量包線隨機平均法三種[87-88]。由隨機平均原理[89]可知，在一定條件下，線性或非線性系統對非白噪聲激勵的響應可以近似為二階 Markov 擴散過程。該近似擴散過程的 FPK 方程的漂移系數和擴散系數可以由給定動態系統的運動方程經過適當的隨機平均或隨機平均連同對時間的平均獲得，求解平均后的 FPK 方程就可以得到原系統響應的近似解。實質上，隨機平均法是通過隨機平均或者連同對時間的確定性平均得到一個與原系統等效的受白噪聲激勵的近似系統[90]。針對含間隙和隨機誤差激勵的單級齒輪系統，SATO 等[33] 運用隨機平均法得到了該系統的振動統計特征，并討論了在隨機激勵下非線性跳躍現象的發生條件。隨后 SATO 等[91]運用隨機平均法給出了隨機外激勵下齒輪系統動力學方程的近似解。——論文作者：魏 莎 韓勤鍇 褚福磊
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